Distribuição de Poisson

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

1. INTRODUÇÃO

Distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade frequentemente utilizada como modelo matemático em situações como: chegadas de pessoas em uma fila, acidentes com veículos, clientes chegando ao caixa de supermercados, carros chegando a um posto de gasolina, usuários de computadores ligados à internet, etc.

É uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrência de um evento em um intervalo especificado. A variável aleatória x é o número de ocorrências do evento em um intervalo, que pode ser o tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga.

Poisson, Simeon-Denis (1781 a 1840) contribuiu para as teorias da eletricidade e do magnetismo e estudou também o movimento da lua. Em matemática, Poisson contribuiu para cálculo de variações, geometria diferencial e para a teoria das probabilidades. Este estudioso descobriu a forma limitada da distribuição binomial que posteriormente recebeu o seu nome. Realmente, a distribuição de Poisson é considerada atualmente uma das mais importantes distribuições na probabilidade, e mais que isso, o método de Poisson é um processo randômico de importância fundamental.

2. FÓRMULA

A fórmula é colocada de duas maneiras:

Versão 1:

x = Número de ocorrências solicitadas

µ = Média

e = 2,71828 (Constante)

Versão 2:

k = Número de ocorrências solicitadas

 = Média

e = 2,71828 (Constante)

3. EXERCÍCIOS

1. Uma máquina produz 0,2% de peças defeituosas. Calcule a probabilidade de que um lote com 50 peças produzidas por essa máquina contenha:

Resolução:

a)nenhuma peça defeituosa;

Regra de 3:

0,2 100

X 50

Logo: x = 0,1%

Usando a fórmula:

b)exatamente uma peça defeituosa;

c)no máximo três peças defeituosas;

P(0) + P(1) + P(2) + P(3) =

90,48 + 9,048 + 0,4524 + 0,0151 100%

d)pelo menos duas peças defeituosas.

1 + P(0)+ P(1) =

100% - (90,48% + 9,05%) = 0,47%

2. Sabendo que a probabilidade de um indivíduo acusar a reação negativa à injeção de determinado soro é 0,001, determine a probabilidade de que em 3 mil indivíduos:

a) Exatamente 2 acusem reação negativa;

b) Mais de 2 indivíduos acusem reação negativa;

Resolução:

a) P(X=2) = 3 ² . e ^-3 = 0,224

2!

b) P(X>2) = 1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]

P(X=0) = 3 ⁰ . e ^-3 = e^-3

0!

P(X=1) = 3 ¹ . e ^-3 = 3e^-3

1!

P(X=2) = 3 ² . e ^-3 = 4,5e^-3

2!

P(X>2)= 1 – 8,5e^-3

P(X>2)= 0,576

3. Calcular a probabilidade de passarem exatamente dois carros por minuto em um posto de pedágio em que passam, em média, 4 carros por minuto:

Resolução:

P(X=2) = 4 ² . e ^-4 = 0,146

2!

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Não obstante, a Distribuição de Poisson se relaciona com outras distribuições, entre as quais a Binomial e a Exponencial, esta última é fundamental na hora de realizar o estudo de um evento qualquer que cumpra com as condições para a aplicação da distribuição estudada. Observa-se que Poisson, por exemplo, determina a probabilidade de certo número de pessoas que chegam a certo lugar, mas é, sem dúvida, a distribuição exponencial que determina o tempo de chegada de cada uma destas pessoas. Isto reflete a estreita relação que existe entre ambas as distribuições.

De outro lado, a Distribuição de Poisson se apresenta como o limite da Binomial quando “n” e “p” tendem a infinito e zero respectivamente, é o mesmo que dizer que quando se tem uma amostra “n” muito grande e uma probabilidade “p” muito pequena.

A Distribuição de Poisson difere da Distribuição Binomial em dois aspectos:

• A Distribuição Binomial é afetada pelo tamanho amostral n e pela probabilidade p, enquanto a Distribuição de Poisson é afetada apenas pela média.

• Na Distribuição Binomial os valores possíveis de variável aleatória x são 0, 1, 2, ..., n, enquanto em uma Distribuição de Poisson os valores possíveis de x são 0, 1, 2, 3, sem limite superior.

A utilização da distribuição de Poisson baseia-se nas seguintes hipóteses:

• A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o campo de observação.

• A probabilidade de mais de uma ocorrência num único ponto é aproximadamente zero.

• O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do número de ocorrências em outros intervalos.

A distribuição de Poisson exige que:

• A variável aleatória seja o número de ocorrências de um evento em um intervalo;

• As ocorrências sejam aleatórias;

• As ocorrências sejam independentes uma das outras;

• As ocorrências sejam distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado;

Como a distribuição de Poisson é um processo estacionário, a média do processo será sempre proporcional a extensão do continuo o tempo ou do espaço. É importante observar que embora a unidade de medida (tempo, área) seja contínua, a variável aleatória (número de ocorrências) é discreta. Desta forma devemos ter atenção com relação à média disponível, pois ela deve ter o tamanho do intervalo apresentado. A utilização para qualquer outro intervalo que se faça necessário do valor da média deve sofrer a correção numérica correspondente.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

OLIVEIRA, Francisco E. M. Estatística e probabilidade: exercícios resolvidos e propostos. São Paulo: Atlas, 1995.

TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 7 ed. São Paulo: JC Editora, 1999. (p. 107 a 109).

Site:http://www.eusei.com/pessoal/poisson.html (Acesso em 16/08/05).